Was ist der Dreisatz?

Der Dreisatz zählt zu den wichtigsten mathematischen Lösungsverfahren. Haben Sie drei Werte und wollen einen unbekannten vierten errechnen, lassen sich damit Aufgaben lösen. Es ist kein Satz im mathematischen Sinne. Vielmehr können Sie damit Proportionalaufgaben in drei Rechenschritten lösen – daher die Bezeichnung.

Es gibt den proportionalen und den antiproportionalen Dreisatz. Beim proportionalen Dreisatz stehen zwei Werte proportional zueinander. Sinkt oder steigt Wert 1, sinkt oder steigt auch Wert 2. Andersherum beim antiproportionalen Dreisatz – sinkt der eine Wert, steigt der andere. Steigt der eine Wert, sinkt der andere.

Dreisatz Rechner

Wem der Dreisatz zu kompliziert ist, findet einen Rechner auf der Seite smart-rechner.de.

Proportionaler Dreisatz

Diese Form funktioniert nach dem Prinzip: je mehr, desto mehr. Alternativ: je weniger, desto weniger. Es liegt direkte Proportionalität zwischen einem Wert A und B vor. Simples Alltagsbeispiel: Je schneller Sie laufen, desto schneller sind Sie am Ziel. Oder: Je weniger Sie arbeiten, desto weniger Gehalt verdienen Sie.

Dreisatz Beispiele

Angenommen, Sie wollen zum Backen drei Pfund Zucker kaufen. Ein Pfund kostet 0,75 Euro. Die Endsumme können Sie sich folgendermaßen verdeutlichen:

Anzahl	Preis (€)
1	0,75
2	1,50
3	2,25

Wenn Sie wissen, was eine Menge 1 kostet, lässt sich leicht auf höhere Mengenangaben schließen. Anders jedoch, wenn Sie umrechnen müssen.

Beispielsweise haben Sie den Preis von einem 4-Kilo-Sack Kartoffeln (8 Euro) und wollen wissen, was drei Kilogramm Kartoffeln kosten. Als Zwischenschritt errechnen Sie zunächst, was ein Kilogramm kostet. Anschließend können Sie mit dem Dreisatz berechnen, was drei Kilogramm kosten. Die Rechnung geht folgendermaßen:

1. Schritt: 4 Kilogramm entsprechen 8 Euro
2. Schritt: 4 : 4 = 1; 8 (Euro) : 4 (Kilo) = 2 Euro pro Kilo
3. Schritt: 1 ∙ 3 = 3; 2 (Euro) ∙ 3 (Kilo) = 6 Euro

Rechnung mit Tabellenverfahren

Sie tragen in eine zweispaltige Tabelle in der ersten Zeile alle bekannten Werte ein – in diesem Fall die 4 (Kartoffeln/Kilogramm) links und rechts daneben die 8 (Preis/Euro). Die zweite Zeile überspringen Sie und tragen den gesuchten dritten Wert ein, nämlich die 3 (ebenfalls links unter Kartoffeln/Kilogramm).

Nun beginnt die eigentliche Rechnung: Um im Zwischenschritt den Preis für ein Kilogramm berechnen zu können, teilen Sie den Wert links durch 4 (also 4 : 4 = 1). Das Gleiche machen Sie mit dem Wert rechts (also 8 : 4 = 2). Der Preis für ein Kilo entspricht also 2 Euro. Um im dritten Schritt auf den Preis für drei Kilogramm zu kommen, müssen Sie links mit 3 multiplizieren und ebenso rechts mit dem Preis verfahren.

Grafisch lässt sich das Ganze folgendermaßen darstellen:

Lösung: Für drei Kilogramm Kartoffeln müssten Sie 6 Euro zahlen.

Dreisatz Formel

Sie können sich den Zwischenschritt sparen und direkt das Ergebnis berechnen. Dazu teilen Sie den Wert der bekannten Zuordnung auf der rechten Seite der Tabelle durch den linken Wert. Das Ergebnis multiplizieren Sie dann mit dem linken Wert in der Tabelle. Bezogen auf obiges Beispiel wenden Sie diese Formel an:

(8 : 4) ∙ 3 = 6

1. Aufgabe: Gäste bewirten

Sie haben ein Spaghetti-Bolognese-Rezept für 4 Personen. Dafür benötigen Sie 600 Gramm Spaghetti. Wie viel mehr brauchen Sie, wenn sich eine fünfte Person dazugesellt?

PS: Die Lösungen zu allen unseren Übungen finden Sie am Ende des Artikels.

Antiproportionaler Dreisatz

Dieses Verfahren funktioniert genau umgekehrt: je mehr, desto weniger. Man spricht in dem Fall von indirekter Proportionalität zwischen A und B. Auch hier Beispiele aus dem Alltag: Je mehr eine Person vom Kuchen isst, desto weniger bleibt übrig. Oder: Je mehr Menschen eine Aufgabe anpacken, desto geringer die Arbeitszeit.

Dreisatz Beispiel

Um eine Baugrube zu füllen, brauchen 5 Bagger 12 Tage. In welcher Zeit schaffen es 8 Bagger?

Bagger	Tage
5	12
1	60
8	7,5

Beim antiproportionalen Dreisatz (auch umgekehrter Dreisatz genannt) ist der wichtigste Schritt, die antiproportionale Zuordnung überhaupt erst zu erkennen. Auch hier die Berechnung Schritt für Schritt:

1. Schritt: 5 Bagger benötigen 12 Tage
2. Schritt: 5 : 5 = 1; 12 ∙ 5 = 60 benötigt 1 Bagger
3. Schritt: 1 ∙ 8 = 8; 60 : 8 = 7,5

Rechnung mit Tabellenverfahren

Sie tragen alle bekannten Werte ein: Links in die erste Zeile die 5 (Bagger) und rechts die 12 (Tage). Die zweite Zeile überspringen Sie zunächst, in die unterste tragen Sie den Wert ein, den Sie herausbekommen möchten. Also die 8 (für Bagger) auf der linken Seite. Auch hier brauchen Sie erst den Wert für umgerechnet einen Bagger.

Daher teilen Sie im zweiten Schritt 5 : 5 = 1. Weil sich dieser Dreisatz jedoch antiproportional verhält, müssen Sie nun auf der rechten Seite den obigen Wert mit 5 multiplizieren, um das Ergebnis für einen Bagger zu erhalten. 12 ∙ 5 = 60. Jetzt wissen Sie, wie lange ein Bagger braucht. Auf der linken Seite müssen Sie den Wert 1 mit 8 multiplizieren. Umgekehrt verhält es sich wiederum auf der rechten Seite: Hier dividieren Sie durch 8.

Grafisch lässt sich das Ganze folgendermaßen darstellen:

Lösung: Mit 8 Baggern dauert es nur noch 7,5 Tage, bis die Baugrube gefüllt ist.

Dreisatz Formel

Ebenso können Sie beim antiproportionalen Dreisatz die Rechnung mit einer Formel verkürzen. Sie funktioniert genau umgekehrt, das heißt: Wo Sie vorher dividieren mussten, müssen Sie nun die Multiplikation anwenden. Also multiplizieren Sie den Wert der rechten Seite in der Tabelle mit dem linken in dieser Zuordnung. Das Ergebnis daraus dividieren Sie mit dem linken Wert. Bezogen auf unser Beispiel sieht die Formel folgendermaßen aus:

(12 ∙ 5) : 8 = 7,5

2. Aufgabe: Küche montieren

Zwei Mitarbeiter eines Küchenstudios bauen eine Küche in 6 Stunden auf. Wie schnell würde es gehen, wenn sie noch einen dritten Kollegen hätten?

Dreisatz Prozent

Aufgaben zur Prozentrechnung lassen sich ebenfalls mit dem Dreisatz errechnen. Suchen Sie beispielsweise einen bestimmten Prozentwert, sind die 100 Prozent (%) Ihr Ausgangswert. Ein Prozent entspricht dann der Menge eins aus den obigen Aufgaben. Beispielsweise hat eine Tafel Schokolade zuvor 2,50 Euro gekostet. Aufgrund des geringen Haltbarkeitsdatums ist sie um 50 Prozent reduziert. Sie rechnen folgendermaßen:

1. Schritt: 1 Tafel (100%) kostete 2,50 Euro
2. Schritt: 100 : 100 = 1 Prozent; 2,50 : 100 = 0,025 Euro
3. Schritt: 1 ∙ 50 = 50%; 0,025 ∙ 50 = 1,25 Euro

Dreisatz-Rechner Prozent

Einen Prozent-Rechner zur Lösung von Dreisatz-Aufgaben finden Sie außerdem HIER.

Rechnung mit Tabellenverfahren

Links in die erste Zeile tragen Sie den Wert 100 Prozent ein, rechts den Preis (2,50 Euro). In die unterste Zeile tragen Sie den dritten bekannten Wert ein, nämlich die 50 Prozent. Um ein Prozent zu erhalten, teilen Sie 100 Prozent durch 100 (100 : 100 = 1). Weil Sie 50 Prozent herausfinden wollen, müssen Sie mit 50 multiplizieren.

Es handelt sich um einen proportionalen Dreisatz, weil mehr Prozent mehr kosten – beziehungsweise weniger Prozent (nämlich 100 Prozent minus 50 Prozent) den Preis senken. Daher müssen Sie auf der rechten Seite ebenfalls durch 100 teilen (2,50 Euro : 100 = 0,025 Euro). Den so gewonnenen Wert multiplizieren Sie anschließend wie auf der linken Seite mit 50.

Grafisch lässt sich das folgendermaßen nachvollziehen:

Lösung: Sie rechnen nun 2,50 Euro minus 1,25 Euro, also kostet die Tafel nur noch 1,25 – exakt die Hälfte.

Prozentrechnung Formel

Wie bei den vorherigen Rechnungen können Sie sich mit einer Formel die Rechenschritte sparen. Dafür multiplizieren Sie den Preis mit dem Wert (50%), auf den Sie reduzieren wollen. Dann teilen Sie das Ergebnis durch 100 Prozent und erhalten die Preisreduzierung. Bezogen auf das Beispiel lautet die Formel:
2,5 (Euro) ∙ 50 (Prozent) : 100 (Prozent) = 1,25 (Euro).

Alternativ können Sie auch so rechnen: (2,5 : 100) ∙ 50 = 1,25 (Euro).

3. Aufgabe: Hose kaufen

Eine Hose hat 90 Euro gekostet. Im Schlussverkauf gibt es auf alle Hosen 30 Prozent Nachlass. Wie viel kostet die Hose nun?

Dreisatz Aufgaben

Nachfolgend können Sie anhand der folgenden Aufgaben Ihr Wissen überprüfen. Die Lösungen aller Textaufgaben können Sie am Ende des Artikels separat kostenlos herunterladen.

4. Aufgabe: Rasen mähen

Zwei Gärtner mähen eine Parkanlage in 7 Stunden. Wie lange dauert es, wenn sie zu fünft arbeiten?

5. Aufgabe: Eintritt zahlen

Auf einem Klassenausflug bezahlt ein Lehrer für 30 Schüler 135 Euro Eintritt ins Museum. Wie viel zahlt seine Kollegin mit ihrer Klasse von nur 28 Schülern?