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Binomische Formeln auflösen: Erklärung, Übungen + Beispiele


Drei binomische Formeln muss jeder Schüler kennen, sie sind Basiswissen der Mathematik: (a + b)², (a – b)² und (a + b) · (a – b). Die meisten Schüler lernen sie in der siebten Klasse. Die Formeln dienen dem vereinfachten Rechnen mit Binomen. Sobald Sie Rechnungen mit Zahlen (oder Buchstaben) in Klammer hoch 2 haben, greifen Sie auf die Formeln zurück. Wir erklären, wie die drei binomischen Formeln lauten. Außerdem finden Sie hier Beispiele und Übungen, wie Sie die binomischen Formeln auflösen…


Binomische Formeln auflösen: Erklärung, Übungen + Beispiele

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Erklärung: Was sind binomische Formeln – einfach erklärt?

Binomische Formeln sind ein Hilfsmittel in der Algebra, um das Rechnen zu erleichtern. Mithilfe dieser Formeln lassen sich Terme vereinfachen. Sie können damit Klammern wie (4 + 2)² ausmultiplizieren beziehungsweise auflösen. Auch bei Rechnungen mit unbekannten Variablen wie etwa (a + 4)² helfen Ihnen die binomischen Formeln weiter.

Üblicherweise ist von drei binomischen Formeln die Rede. Gemeint sind Formeln mit dem Exponenten 2:

1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Die sogenannte Plus-Formel ist an dem Pluszeichen in der Klammer erkennbar, das a und b miteinander verbindet.

2. binomische Formel: (a – b)² = a² – 2ab + b²

Die sogenannte Minus-Formel ist am Minuszeichen in der Klammer erkennbar, das a und b miteinander verbindet.

3. binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a² – b²

Die Plus-Minus-Formel ist eine Mischung aus den beiden vorherigen Formeln: Hier müssen Sie eine Klammer mit Pluszeichen mit einer Klammer mit Minuszeichen verrechnen.

Binomische Formeln sind in beide Richtungen anwendbar. Das heißt, lange mehrgliedrige Terme lassen sich zu Klammern zusammenfassen. Der Name der Formeln leitet sich vom Binom ab: Bi steht für zwei und Nomen für Namen. „Binomisch“ bezeichnet einen zweigliedrigen Term wie beispielsweise 1 + 1.

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Herleitung erste binomische Formel

Die erste binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² lässt sich wie folgt auflösen:

(a + b)²
= (a + b) · (a + b)
= a · (a + b) + b · (a + b)
= a² + a · b + b · a + b²
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²

Beispiele für die erste binomische Formel

Die Buchstaben a und b stehen für Zahlen. Entscheidend ist, dass Sie wissen, wie man in Klammern zum Quadrat (Exponent 2) auflöst: Es bedeutet, dass die in den Klammern stehenden Zahlen in einem ersten Zwischenschritt immer mit sich selbst multipliziert werden. Beispielsweise könnte eine Aufgabe folgendermaßen aussehen:

(3 + 4)² = 3² + 2 ∙ 3 ∙ 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49

Oder:

(1 + 2)² = 1² + 2 · 1 · 2 + 2² = 1 + 4 + 4 = 9

Ebenso gut können Aufgaben nur aus Variablen oder gemischt aus Zahlen und Buchstaben bestehen. Ein Beispiel dafür:

(2 + a)² = 2² + 2a ∙ 2a + a² = 4 + 4a + a²

Geometrische Veranschaulichung (1. binomische Formel)

Die nachfolgende Grafik verdeutlicht die erste binomische Formel: Das schwarze Quadrat mit der Seitenlänge a + b lässt sich mit den beiden Quadraten a² und b² ausfüllen. Übrig bleiben jeweils zwei gleich große Rechtecke a ∙ b (= ab).

Binomische Formeln 1 Beispiele Rechner Auflösen Grafik

Bionomische Formeln: Rechner

Wem das alles zu mühselig ist, kann die binomischen Formeln auch mithilfe eines Rechners auflösen. Dieser zeigt allerdings nicht alle Zwischenschritte an. Grundsätzlich ist es wichtig, dass Sie wichtige mathematische Gesetze (Punkt- vor Strichrechnung, Klammer- vor Punktrechnung) verinnerlicht haben.

Hinzu kommt, dass sich in der Mathematik vereinfachte Schreibweisen eingebürgert haben. So ist beispielsweise oft ab statt a · b zu lesen. Zum besseren Verständnis führen wir das Multiplikationszeichen in den Zwischenschritten mit auf. In der Rechnung mit Variablen fasst man alles zusammen, was sich zusammenfassen lässt – die Reihenfolge von a oder b ist nicht entscheidend. Deshalb lässt sich a · b + b · a auch einfach als ab + ab oder – noch kürzer – als 2ab schreiben.


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Herleitung zweite binomische Formel

Die zweite binomische Formel (a – b)² = a² – 2ab + b² lässt sich wie folgt auflösen:

(a – b)²
= (a – b) ∙ (a – b)
= a · (a – b) – b · (a – b)
= a² – a ∙ b – b ∙ a – b²
= a² – ab – ab + b²
= a² – 2ab + b²

Beispiele für die zweite binomische Formel

Auch hier verschiedene Beispiele, welche die binomische Formel illustrieren:

(4 – 2)² = 4² – 2 · 4 · 2 + 2² = 16 – 16 + 4 = 4

Oder:

(2 – 1)² = 2² – 2 ∙ 2 ∙ 1 + 1² = 1 ²

Wie bei der ersten binomischen Formel funktioniert die zweite ebenso gemischt mit Variablen:

( 3 – a )² = 3² – 2 · 3 · a + a² = 9 – 6a + a²

Geometrische Veranschaulichung (2. binomische Formel

Ausgangspunkt ist das große schwarz umrandete Quadrat. Von dort wollen Sie zum kleineren, rot umrandeten Quadrat (a – b)² gelangen. Dafür müssen Sie die beiden Rechtecke a ∙ b abziehen. Weil Sie dann das kleine orangefarbene Quadrat b² doppelt abgezogen haben, korrigieren Sie, indem Sie es einmal hinzufügen.

Binomische Formeln 2 Beispiele Rechner Auflösen Grafik

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Herleitung dritte binomische Formel

Die dritte binomische Formel (a + b) · (a – b) = a² – b² lässt sich wie folgt auflösen:

(a + b) · (a – b)
= a · (a – b) + b · (a – b)
= a · a – a · b + b · a + b (– b)
= a² – a · b + b · a – b²
= a² – ab + ab – b²
= a² – b²

Beispiele für die dritte binomische Formel

Die dritte binomischen Formel ist im Prinzip die einfachste. Folgende Beispiele zeigen, wie Sie die Klammern entsprechend auflösen:

(3 + 1) · (3 – 1) = 3² – 1² = 9 – 1 = 8

Oder:

(4 + 3) · (4 – 3) = 4² – 3² = 16 – 9 = 7

Genauso verfahren Sie mit Variablen beim Auflösen der Klammer:

(5 + b) ∙ (5 – b) = 5² – b² = 25 – b²

Geometrische Veranschaulichung (3. binomische Formel)

Das Quadrat a² setzt sich in der dritten Grafik aus dem dunkelblauen und dem hellblauen Rechteck darüber zusammen. Nun ziehen Sie das kleine gelb umrandete Quadrat b² davon ab. Das übrige hellblaue Rechteck drehen Sie und fügen es rechts seitlich hinzu (in der Grafik deutlich heller nun). Aus den beiden kombinierten Rechtecken ergibt sich ein neues Rechteck der Breite (a – b) und der Höhe (a + b).

Binomische Formeln 3 Beispiele Rechner Auflösen Grafik

Binomische Formeln: Übersicht + Übungen (mit Auflösung)

Nachfolgend stellen wir Ihnen die binomischen Formeln in einem kostenlosen PDF als Download zur Verfügung:

Binomische Formeln: Übersicht + Übungen (PDF)

Binomische Formeln hoch 3

Neben den binomischen Formeln mit der Hochzahl 2 gibt es Rechnungen mit höheren Exponenten wie 3, 4, 5 und so weiter. Grundlage sind immer die bereits bekannten Formeln. Taucht in einer binomischen Formel die Zahl 3 als Hochzahl auf, spricht man von einer binomischen Formel hoch 3. Analog dazu von einer binomischen Formel hoch 4, hoch 5 und so weiter.

Die 1. binomische Formel hoch 3 lautet: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Auflösung mit Exponent 3

Die Herleitung der Formel mit der Hochzahl 3 funktioniert ganz ähnlich wie die erste binomische Formel zum Quadrat. Zur Erinnerung: (a + b)² wird zunächst (a + b) · (a + b) aufgelöst. Weil wir nun hoch 3 rechnen, multiplizieren wir das Ergebnis von (a + b) · (a + b) erneut mit (a + b). Das Ganze sieht wie folgt aus:

(a + b)³ = (a + b) · (a + b) · (a + b)
= (a + b) · (a² + ab + ba + b² )
= (a + b) · (a² + 2ab + b²)
= a · a² + a · 2ab + a · b² + b · a² + b · 2ab + b · b²
= a³ + 3ab² + 3a²b + b³

Zur besseren Übersicht haben wir hier farblich markiert: In der dritten Zeile ist der blaue Term quasi der neu zu merkende Teil, der grüne Term entspricht der bereits bekannten ersten Formel. Diese können Sie weiter zusammenfassen, so dass am Ende a³ + 3ab² + 3a²b + b³ herauskommt.

2. binomische Formel hoch 3

Daneben gibt es ebenfalls eine Minus-Formel. Die 2. binomische Formel hoch 3 lautet:
(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Die Herleitung der Minus-Formel sieht folgendermaßen aus:

(a – b)³
= (a – b) · (a – b) · (a – b)
= (a – b) · (a – b)²
= (a – b) · (a² – 2ab + b²)
= a³ – (2a²b) + (ab²) – (ba²) + (2ab²) – b³
= a³ – 3a²b + 3b²a – b³

Klar lässt sich der grün markierte Term als Bestandteil der zweiten binomischen Formel erkennen.

Beispiele für Exponent 3

Folgende Rechnung: (x + 2)³
Ersetzen Sie einfach das a der Formel durch x und das b durch 2. Heraus kommt:

(x + 2)³
= (x + 2) · (x + 2) · (x + 2)
= x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 4 + 2³
= x³ + 6 · x² + 12x + 8

Genauso verfahren Sie hier: (x – 2)³

(x – 2)³
= (x – 2) · (x – 2) · (x – 2)
= x³ – 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² – 2³
= x³ – 6 · x² + 12x – 8

Binomische Formeln Merksatz

Schaut man sich noch höhere Potenzen an, wird es langsam unübersichtlich, die Klammern aufzulösen. Als Beispiel sei die Formel hoch 4 gezeigt: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴. Einen direkten Merksatz gibt es nicht, aber gewisse Gesetzmäßigkeiten. Vergleichen Sie die Formel hoch 3 direkt mit der Formel hoch 4, fällt zweierlei auf:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Die erste und letzte Potenz entspricht immer dem Grad des Binoms. Zweitens nehmen die Potenzen von a von links nach rechts ab: a⁴, a³, a², a (entspricht a hoch 1 im Prinzip). Hingegen nehmen die Potenzen von b von links nach rechts zu: b, b², b³ und schließlich b⁴.


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[Bildnachweis: Karrierebibel.de]

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