Flächeninhalt Dreieck
Als Dreieck bezeichnet man in der Geometrie eine Figur mit drei Ecken. Verbunden sind die Ecken über die Seiten des Dreiecks. Zum Flächeninhalt eines Dreiecks zählen alle Punkte innerhalb des Dreiecks sowie auf den Verbindungslinien.
Für die Flächeninhaltsberechnung benötigen Sie Angaben zur Höhe und zur Grundseite eines Dreiecks. Folgende Grafik verdeutlicht das anhand eines Beispiels. Darin beträgt die Höhe (h) 4 Zentimeter und die Grundseite (g) 9 Zentimeter.
Was ist die Formel für den Flächeninhalt?
Mit den obigen Angaben können Sie leicht den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, indem Sie folgende Formel anwenden:
A = ½ ∙ g ∙ h
Der Flächeninhalt wird in der Mathematik meist mit dem Buchstaben A (teilweise auch F) angegeben. Der Kleinbuchstabe g steht für die Grundseite (auch Grundlinie), das ist bei grafischen Darstellungen die untere Seite eines Dreiecks. Der Kleinbuchstabe h bezeichnet die Höhe. In unserem Fall heißt das:
A = ½ ∙ 9 cm ∙ 4 cm
Ausgerechnet erhalten Sie:
A = 18 cm².
Wichtig: Multiplizieren Sie Zentimeter mit Zentimeter, erhalten Sie Quadratzentimeter als Ergebnis. Daher müssen Sie hoch 2, also cm² schreiben.
Beispiel Flächeninhaltsberechnung Dreieck
Genauso wie beschrieben gehen Sie mit anderen Dreiecken um. Sie haben beispielsweise ein Dreieck mit den Seitenlängen g = 6 cm und h = 5 cm. Folgendermaßen gehen Sie vor:
1. Schritt: Formel rekapitulieren
A = ½ ∙ g ∙ h
2. Schritt: Angaben einsetzen
A = ½ ∙ 6 cm ∙ 5 cm
3. Schritt: Flächeninhalt ausrechnen
A = 15 cm²
Flächeninhalt Dreieck mit Angaben umrechnen
Die bisherigen Beispiele ließen sich mühelos berechnen, da die Angaben jeweils in der gleichen Maßeinheit (Zentimeter) vorlagen. Obige Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks können Sie auch bei Aufgaben mit unterschiedlichen Maßeinheiten anwenden.
Voraussetzung dafür ist allerdings, dass Sie zuvor die Angaben entsprechend umrechnen. Sie haben beispielsweise ein Dreieck mit den Seitenlängen g = 70 mm und h = 0,5 cm. Dann schalten Sie vor die obigen drei Schritte noch einen Schritt vor:
1. Schritt: Angaben umrechnen
mm = Millimeter; g = 70 mm = g = 7 cm
2. Schritt: Formel rekapitulieren
A = ½ ∙ g ∙ h
3. Schritt: Angaben einsetzen
A = ½ ∙ 7 cm ∙ 5 cm
4. Schritt: Flächeninhalt ausrechnen
A = 17,5 cm²
Flächeninhalt Dreieck ohne Höhe (mit rechtem Winkel)
Während Sie für viele Dreiecke zunächst eine Höhe festlegen müssen, ist es bei einem rechtwinkeligen Dreieck recht simpel: Hier rechnen Sie einfach mit den beiden Seiten, die den 90°-Winkel einschließen: das sind a und b.
Formel für rechtwinkliges Dreieck
Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks benötigen Sie folgende Formel:
A = ½ ∙ a ∙ b
Flächeninhalt Dreieck gleichschenkelig
Merkmal eines gleichschenkeligen Dreieck sind zwei gleich lange Seiten, genannt Schenkel. Die dritte Seite ist die Basis. Üblicherweise benennt man die Ecken mit den Großbuchstaben A, B und C. Die jeweils gegenüberliegende Seite erhält den passenden Kleinbuchstaben a, b oder c. Da beim gleichschenkeligen Dreieck zwei Seitenlängen identisch sind, erhalten beide Schenkel die Bezeichnung a. Die Basis wird mit c gekennzeichnet, da Sie der Spitze C gegenüberliegt.
Formel für gleichschenkeliges Dreieck
Für den Flächeninhalt eines gleichschenkeligen Dreiecks benötigen Sie folgende Formel:
Flächeninhalt Dreieck gleichseitig
Das gleichseitige Dreieck zeichnet sich durch drei gleich lange Seiten aus. Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ergibt immer 180°. Das Besondere am gleichseitigen Dreieck: Hier sind alle Winkel gleich groß. Jeder Winkel beträgt 60 Grad.
Formel für gleichseitiges Dreieck
Da alle Seiten gleich lang sind, gibt es für die Formel des Flächeninhalts nur den Buchstaben a. Die Formel zur Flächeninhaltsberechnung lautet:
Herleitung der Formel
Um den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen zu können, braucht man zunächst zwei Längen, die senkrecht zueinander stehen – so wie bei der Berechnung von Rechtecken. Anders als bei einem Dreieck ist das beim Rechteck automatisch gegeben. Bei einem Dreieck kann man nicht einfach zwei Seiten miteinander multiplizieren. Aber es gibt eine Krücke: Wir denken uns zunächst ein Rechteck um das Dreieck, bei dem die Ecken exakt auf den Seitenlinien liegen.
Die Grundseite dieses Rechtecks hat die gleiche Länge wie das Dreieck. Die andere Seite ist mit der Höhe h identisch. Damit haben wir eine Seite, die senkrecht zur Grundseite g steht.
Die Höhe teilt ein beliebiges Dreieck in zwei Dreiecke mit rechtem Winkel. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite nennt sich Hypotenuse. Spiegelt man nun die beiden Dreiecke jeweils an ihrer Hypotenuse, erhält man ein Rechteck. Grafisch sieht das folgendermaßen aus:
Die dunkleren Dreiecke entsprechen in den Maßen absolut den beiden helleren Teildreiecken. Den Flächeninhalt eines Rechtecks erhält man, indem man die Grundseite mit der Seitenlänge multipliziert („Länge mal Breite“). Als Formel ausgedrückt schreibt man:
A = g ∙ h
Halbieren des Rechtecks
Das ursprüngliche Dreieck entspricht exakt der Hälfte dieses Rechtecks, da wir zuvor die Teilhälften des Dreiecks verdoppelt haben. Die Formel zur Berechnung des Quadrats eignet sich nicht, weil wir den doppelten Flächeninhalt bekämen.
Also müssen wir die Formel zur Berechnung eines Rechtecks durch 2 teilen – daher auch der Bruch in der Rechnung. Somit ergibt sich zur Berechnung des Flächeninhalts des ursprünglichen Dreiecks folgende Formel:
A = ½ ∙ Grundseite ∙ Höhe
Beziehungsweise:
A = ½ ∙ g ∙ h
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