Primzahlen erkennen: Definition, Liste + Primfaktorzerlegung

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Definition: Was sind Primzahlen?

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die durch 1 und sich selbst teilbar sind. Sie sind nur durch diese zwei Teiler teilbar. Beispiel:

Die Zahl 3 ist eine Primzahl, da sie lediglich durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Hingegen handelt es sich bei der Zahl 4 um keine Primzahl, denn sie ist durch 1, sich selbst und durch die Zahl 2 teilbar. Somit hat diese Zahl drei Teiler.

Damit lässt sich ein wichtiges Merkmal bestimmen: Primzahlen sind bis auf die 2 immer ungerade Zahlen, da sie anderenfalls auch durch die Zahl 2 teilbar wären.

Liste: Primzahlen bis 20, 50 und 100

Nachfolgend eine Übersicht der Zahlen, die Sie nur durch sich selbst oder 1 teilen können:

Bis 20
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Bis 30
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Bis 50
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Bis 100
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Primzahlen bis 1.000

Die obigen Listen sowie eine Übersicht der Primzahlen bis 1.000 können Sie hier kostenlos als PDF herunterladen:

Primzahlen bis 1.000 (PDF)

Häufige Fragen und Antworten zu Primzahlen

Wie viele Primzahlen gibt es?

Der griechische Mathematiker Euklid konnte nachweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (Satz des Euklids). Somit lässt sich keine größte Primzahl benennen.

Ist 1 eine Primzahl?

Diese Frage war lange umstritten. Seit dem 20. Jahrhundert besteht in der Mathematik Konsens, dass 1 keine Primzahl ist. Zwar ist 1 durch sich selbst und durch 1 teilbar – aber das ist im Prinzip derselbe Teiler, keine zwei verschiedenen. Das unterscheidet die 1 somit von anderen Zahlen.

Wäre 1 eine Primzahl, würde es zudem einem anderem mathematischen Gesetz widersprechen: Demnach ist das Ergebnis einer Multiplikation zweier verschiedener Primzahlen niemals eine Primzahl. Das Ergebnis der Rechnung 1 ∙ 1 = 1 würde jedoch gegen dieses mathematische Gesetz verstoßen.

Welches ist die kleinste Primzahl?

Null ist zwar kleiner als 1, aber ebenfalls keine Primzahl. Grund dafür ist, dass man Zahlen nicht durch Null teilen darf. Eine Rechnung wie 0 : 0 ist daher nicht erlaubt – gleichzeitig fehlt damit der Teiler „durch sich selbst“. Die nächstkleinste Zahl nach 1 ist die 2. Da die Zahl 2 nur durch sich selbst als auch durch 1 teilbar ist, ist es eine Primzahl und somit die kleinste.

Was sind Primzahlzwillinge?

Unter Primzahlzwillingen versteht man eine Zahl, die exakt zwischen zwei Primzahlen steht. Sie haben den Abstand 2. So steht beispielsweise zwischen den Primzahlen 11 und 13 die 12. Aber auch 17 und 19 sind Primzahlzwillinge, da zwischen ihnen die 18 steht. Weitere Primzahlzwillinge bis 100 sind die Primzahlen 29 und 31 (30), 41 und 43 (42), 59 und 61 (60) sowie 71 und 73 (72). Wie viele Primzahlzwillinge existieren, ist unbekannt.

Was sind Primzahldrillinge?

Als Primzahldrillinge sind drei Primzahlen definiert, die eine Differenz von 2 haben. Allerdings existiert mit den Primzahlen 3, 5 und 7 der einzige Primzahldrilling. Denn jede dritte ungerade Zahl ist durch 3 teilbar.

Berechnung: Primzahlen erkennen

Um bei größeren Zahlen herauszufinden, ob es sich um eine Primzahl handelt, müssen Sie Teilbarkeitsregeln anwenden. Dazu teilen Sie gemäß der obigen Definition zunächst durch 1 und durch sich selbst. Funktioniert das, probieren Sie die nächstgrößere Zahl.

Beispiel 24

Sie versuchen, die Zahl 24 zu teilen.

24 : 1 = 24
24 : 24 = 1

Nun versuchen Sie durch 2 zu teilen:

24 : 2 = 12

Erkenntnis: Die Zahl 24 kann keine Primzahl sein, denn sie ist durch 1, sich selbst und die Zahl 2 teilbar. Sie besitzt somit bereits drei Teiler.

Beispiel 17

Ebenso können Sie versuchen herauszufinden, ob 17 eine Primzahl ist.

17 : 1 = 17
17 : 17 = 1
17 : 2 = ❌
17 : 3 = ❌
17 : 4 = ❌
17 : 5 = ❌
17 : 6 = ❌

Es zeigt sich, dass 17 weder durch die Zahl 2 noch weitere Teiler danach teilbar ist. Da sich außer 1 und 17 keine weiteren Teiler finden lassen, muss es sich um eine Primzahl handeln.

Primfaktorzerlegung

Bei der Primfaktorzerlegung zerlegen Sie eine Zahl in ein Produkt aus Primzahlen. Für alle natürlichen Zahlen gilt, dass sie entweder eine Primzahl sind oder sie in ein Produkt aus Primzahlen darstellbar sind. Dafür probieren Sie aus, durch welche Primzahlen Sie eine Zahl ohne Rest teilen können. Ist eine Zahl durch eine Primzahl ohne Rest teilbar, rechnen Sie mit dem Divisionsergebnis weiter. Das machen Sie solange, bis beim Divisionsergebnis eine Primzahl herauskommt.

Beispiel 1

Als Beispiel zeigen wir die Primfaktorzerlegung anhand der Zahl 48. Diese Zahl ist selbst keine Primzahl. Zunächst versuchen Sie, einen Primteiler zu finden. Sie beginnen am besten mit der kleinsten Primzahl (2) und arbeiten sich langsam vor. Ist eine Zahl nicht durch 2 teilbar, testen Sie mit weiteren Teilern wie 3, 5, 7 und so weiter.

48 : 2 = 24

Wenn Sie etwas als Produkt darstellen möchten, schreiben Sie es folgendermaßen:

48 = 2 ∙ 24

Nun zerlegen Sie die 24 weiter. Diese ist ebenfalls durch die kleinste Primzahl 2 teilbar, daher schreiben Sie:

48 = 2 ∙ 2 ∙ 12

Als nächstes müssen Sie die 12 zerlegen. Erneut können Sie durch 2 teilen und schreiben:

48 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 6

Danach zerlegen Sie die Zahl 6, die ebenfalls durch 2 teilbar ist:

48 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3

In dieser Reihe ist 3 ebenfalls eine Primzahl und nur durch 1 und sich selbst teilbar. Damit haben Sie die Primfaktorzerlegung von 48 beendet.

Beispiel 2

Das Gleiche lässt sich auch mit größeren Zahlen nachrechnen. Die Primfaktorzerlegung mit 700 sieht folgendermaßen aus:

700 : 2 = 350

Als Produkt dargestellt, schreiben Sie das folgendermaßen:

700 = 2 ∙ 350

350 lässt sich ebenfalls durch 2 teilen, daher schreiben Sie:

700 = 2 ∙ 2 ∙ 175

175 ist nicht durch 2 und nicht durch 3 teilbar, daher fahren Sie mit 5 als nächsten Teiler fort:

700 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 35

35 lässt sich ebenfalls vom Primteiler 5 teilen, so dass Sie zum Schluss diese Primzahlen übrig haben:

700 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7

Primzahlen erkennen: Quersumme + andere Eselsbrücken

Ob eine beliebige Zahl eine Primzahl ist, erkennen Sie wie erwähnt, wenn Sie einen anderen Teiler als sich selbst oder 1 finden. Besonders beim Teilen durch kleinere Primzahlen wie 2, 3 und 5 gibt es Eselsbrücken:

Teiler 2
Ist bei einer natürlichen Zahl die letzte Ziffer eine gerade, können Sie durch 2 teilen. Beispielsweise ist 572 durch 2 geteilt 286.
Teiler 3
Durch den Teiler 3 können Sie teilen, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Beispielsweise von 573 ist die Quersumme (5 + 7 + 3) = 15. Das lässt sich wiederum durch 3 (15 : 3 = 5) teilen. Damit ist auch 573 durch 3 teilbar (= 191).
Teiler 5
Für den Teiler 5 können Sie sich merken: Ist die letzte Ziffer eine 0 oder eine 5, ist eine Zahl durch 5 teilbar.

Primfaktorzerlegung bei ggT und kgV

Die Primfaktorzerlegung hat einige Vorzüge. Zum einen hilft sie beim Kürzen von Brüchen. Zum anderen können Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) oder das das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei Zahlen damit bestimmen.

ggT

Der ggT von zwei oder mehreren Zahlen ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren. Um diese zu erhalten, wenden wir beispielsweise bei den Zahlen 16 und 24 die Primfaktorzerlegung an:

16 = 2 ∙ 8
16 = 2 ∙ 2 ∙ 4
16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

24 = 2 ∙ 12
24 = 2 ∙ 2 ∙ 6
24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3

Beim letzten Schritt der Primfaktorzerlegung fällt auf, dass der Faktor 2 bei der Zahl 16 viermal, bei der Zahl 24 hingegen nur dreimal auftaucht. Somit multiplizieren Sie nun die gemeinsamen Faktoren miteinander, also 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8. Der größte gemeinsame Teiler von 16 und 24 ist 8.

kgV

Das kgV ist die kleinste Zahl von zwei oder mehreren Zahlen, die ein Vielfaches von beiden oder mehreren Zahlen ist. Um das kgV der beiden Zahlen 2 und 3 zu erhalten, können Sie beispielsweise das kleine Einmaleins nutzen und Zahlenreihen bilden:

2 = 4, 6, 8, 10, 12, 14…
3 = 6, 9, 12, 15, 18, 21…

Im Vergleich der beiden Zahlenreihen fällt direkt auf, dass die 6 doppelt vorkommt. Das trifft zwar auf die 12 ebenfalls zu, aber es geht ja um das kleinste gemeinsame Vielfache. Und das ist die kleinste Zahl, welche Sie durch beide Ausgangszahlen (hier: 2 und 3) teilen können. Das kgV von 2 und 3 ist also 6.

Eine alternative Methode ist die Primfaktorzerlegung. Dafür teilen Sie zwei zu vergleichende Zahlen solange durch Primzahlen, bis Primfaktoren herauskommen. Beispielsweise die beiden Zahlen 18 und 24:

18 = 2 ∙ 9
18 = 2 ∙ 3 ∙ 3

24 = 2 ∙ 12
24 = 2 ∙ 2 ∙ 6
24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3

Nun fassen Sie in der letzten Reihe identische Faktoren zusammen. Um das kgV errechnen zu können, wählen Sie das größere Päckchen einer Reihe aus und multiplizieren es mit dem größeren Päckchen der anderen Zahl. Hier wählen Sie also:

3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 72

Die Zahl 72 ist damit das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 18 und 24, da sie sich durch beide teilen lässt. Es gibt somit keine kleinere Zahl, die durch 18 und 24 teilbar ist.

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[Bildnachweis: Karrierebibel.de]