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Erste binomische Formel: Beispiel + Herleitung

Insgesamt gibt es drei binomische Formeln. Die dienen dem Ausmultiplizieren und Ausklammern mathematischer Terme zum Quadrat. Schüler sollten Sie möglichst auswendig lernen, weil sie das Rechnen vereinfachen. Mit Beispielen einfach erklärt: Wie die lautet die erste binomische Formel – und wie funktioniert ihre Herleitung?



Erste binomische Formel: Beispiel + Herleitung

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Die erste binomische Formel

Die erste binomische Formel wird auch „Plus-Formel“ genannt. Sie erkennen diese am Pluszeichen in der Klammer, das a und b miteinander verbindet. Sie lautet:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Die erste binomische Formel lässt sich wie folgt auflösen:

(a + b)²
= (a + b) • (a + b)
= a • (a + b) + b • (a + b)
= a² + a • b + b • a + b²
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²

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Erste binomische Formel Beispiel

Binomische Formeln helfen bei Rechnungen mit einem Exponenten (zum Quadrat, hoch Zwei). Dabei werden die Zahlen in Klammern zuerst mit sich selbst multipliziert. Beispiele für Aufgaben:

(3 + 4)² = 3² + 2 • 3 • 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49
(1 + 2)² = 1² + 2 • 1 • 2 + 2² = 1 + 4 + 4 = 9

Dieselbe Rechnung machen Sie, bei Aufgaben mit Variablen oder gemischt aus Zahlen und Buchstaben:

(2 + a)² = 2² + 2a • 2a + a² = 4 + 4a + a²

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Herleitung der Plus-Formel

Letztlich helfen binomische Formeln dabei, das Auflösen von Klammern zu vereinfachen. Sie können die Rechnung aber genauso Schritt für Schritt herleiten und dabei die mathematischen Regeln anwenden:

(a + b)² = (a + b) • (a + b) = a (a + b) + b (a + b) = a² + a • b + b • a + b² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Zur geometrischen Veranschaulichung der ersten binomischen Formel hilft die folgende Grafik: Das schwarze Quadrat mit der Seitenlänge a + b lässt sich mit den beiden Quadraten a² und b² ausfüllen. Übrig bleiben auf der Fläche jeweils zwei gleich große Rechtecke a • b (= ab).

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Wie lauten alle drei binomischen Formeln?

Alle drei binomische Formeln gehören in Mathe zur Algebra und erleichtern das Rechnen. Mit den Formeln können Sie Terme in Klammern, wie zum Beispiel (4 + 2)² einfach auflösen und ausmultiplizieren. Gleiches gilt für Rechnungen mit unbekannten Variablen wie (a + 3)².

Alle drei binomischen Formeln lauten:

Erklärung: Binomische Formeln funktionieren in beide Richtungen – auch rückwärts, um mathematische Ausdrücke mit Klammern zu schreiben.

Achtung: In der Mathematik wird oft die vereinfachte Schreibweise genutzt: „ab“ steht für „a • b“. Beispiel: Statt „a • b + b • a“ können Sie auch „ab + ab“, kürzer: „2ab“ schreiben.


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